Antisymetrická matice

Antisymetrická matice

Zrcadlo 1

Antisymetrická matice je čtvercová matice, kde prvky mimo hlavní úhlopříčku jsou symetricky stejné, ale prvky pod hlavní úhlopříčkou nesou záporné znaménko.

Jinými slovy, antisymetrická matice je matice, která má stejný počet řádků (n) a sloupců (m) a prvky na obou stranách hlavní diagonály se doplňují.

Protože prvky nad a pod hlavní diagonálou jsou posunuty, jsou prvky na hlavní diagonále nulové.

Doporučený článek: nesymetrická matice a symetrická matice.

Charakteristika antisymetrické matice

Vlastnosti antisymetrické matice jsou:

  • Čtvercová matice.
  • Symetrická matice + záporné znaménko (-) v prvcích pod hlavní diagonálou.
  • Prvky hlavní diagonály jsou nuly (0).

Antisymetrická matice

Vzhledem ke čtvercové matici AS ,

Antisymetrická matice 1
Antisymetrická matice

Můžeme vidět, jak se stejné prvky objevují na obou stranách hlavní diagonály, ale se zvláštností, že prvky pod hlavní diagonálou mají vpředu záporné znaménko. Také hlavní úhlopříčka je tvořena nulami.

Antisymetrická matice a zrcadla

Stejně jako symetrickou matici lze i antisymetrickou matici chápat na příkladu zrcadla.

Zrcadlo 1
Zrcadlo

Když se na sebe podíváme do zrcadla a zvedneme pravou paži, uvidíme, že osoba v zrcadle zvedne levou paži. Jinými slovy, pohyb zrcadla doplňuje náš, a proto by součet obou vedl k nule.

Výše uvedenou myšlenku můžeme vyjádřit následovně a odvodit:

(Zvedněte pravou ruku) (Zvedněte levou ruku) = 0

(Zvedněte pravou ruku) = (Zvedněte levou ruku)

Hlavní diagonála funguje jako zrcadlo a na obou stranách hlavní diagonály vidíme protilehlé prvky. Neutrální funkce (=) se mapuje na hlavní diagonálu.

Vlastnictví

  • Transponovaná matice antisymetrické matice se rovná antisymetrické matici vynásobené (-1).

Jinými slovy, bylo by to jako přidat záporné znaménko před antisymetrickou matici.

Matematicky,

Vlastnost antisymetrické matice 1
Vlastnost antisymetrické matice

Vidíme, že oběma postupy dojdeme ke stejnému výsledku: provedením transponované matice nebo vynásobením (-1) antisymetrické matice.

Nesymetrická matice vs Antisymetrická matice vs symetrická matice

Příklad zrcadla v případě symetrické matice stačí, že odráží stejný pohyb, to znamená, že pokud zvedneme paži, vidíme zvednutou paži, ale není nutné upřesňovat, co to je. V případě antisymetrické matice musíme zkontrolovat, které rameno vidíme v zrcadle a určit, zda se jedná o antisymetrickou matici.

Když zvedneme paži a v zrcadle uvidíme, že…

  • Stejná paže je zvednutá, z pohledu osoby v zrcadle se pak jedná o symetrickou matici.
  • Opačná paže je zvednutá, z pohledu osoby v zrcadle se pak jedná o antisymetrickou matrici.
  • Pokud není zvednuta žádná paže nebo je zvednuto více než jedna, z pohledu osoby v zrcadle se jedná o nesymetrickou matici.

Maticové dělení

  • Připojená matrice
  • Hlavní úhlopříčka
  • Choleský rozklad