Màxim comú divisor (MCD)

Màxim comú divisor (MCD)

Màxim Comun Divisor

El màxim comú divisor (MCD) és el nombre més gran pel qual es poden dividir dos o més números. Això, sense deixar cap residu.

És a dir, el màxim comú divisor o MCD és la xifra més alta per la qual es pot dividir un conjunt de números, donant com a resultat un nombre enter.

Un divisor es pot definir formalment com aquell nombre que està contingut en un altre de manera exacta una quantitat n de vegades.

Cal assenyalar que els números sobre els quals es calcula el MCD han de ser diferents de zero.

Per explicar-ho millor, observem un exemple. Suposem que en tenim 35 i 15. Així, observem quins són els divisors de cadascun:

  • Divisors de 35 → 35,7,5,1
  • Divisors de 15 → 15,5,3,1

Per tant, el màxim comú divisor de 35 i 15 és 5.

Val a dir que si els divisors comuns de dos números són únicament 1 i -1 se’ls denomina «cosins entre si».

Mètodes per calcular el màxim comú divisor

Podem distingir els tres mètodes següents per calcular el màxim comú divisor:

  • Descomposició en factors primers: Es descomponen els números en nombres primers. Després, per calcular el MCD, es prenen els números comuns elevats a la mínima potència. Per exemple, suposem que en tenim 216 i 156:

216/2=108

108/2=54

54/2=27

27/3=9

9/3=3

3/3=1

216=(3^3)*(2^3)

156/2=78

78/2=39

39/3=13

13/13=1

156=13*3*(2^2)

Per tant, el màxim comú divisor entre tots dos números seria: (2^2)*3=12

Ara, suposem que tenim tres elements: 315, 441 i 819

315= (3^2)*7*5

441= (3^2)*(7^2)

819= (3^2)*7*13

Aleshores, després de desagregar-los, prenent cada divisor amb la seva mínima potència, el resultat seria:

MCD= (3^2)*7= 63

  • Algorisme d’Euclides: A l’dividir a entre b, s’obté un quocient c i un r. Aleshores, el màxim comú divisor de a i b és igual que el de b i r . Això, atesa el següent: a=bc+r . Per entendre-ho millor, apliquem aquest mètode a l’exemple mostrat prèviament amb 216 i 156.

216/156= 1 amb residu de 60

ara dividim 156/60=2 amb residu 36

Tornem a dividir 60/36=1 amb residu 24

Un cop més dividim 36/24=1 amb residu 12

I finalment dividim 24/12=2 amb residu 0

Per tant, el màxim comú divisor és 12. Com podem observar, hem de dividir fins que el residu sigui 0 i el darrer divisor serà el MCD.

  • En base al mínim comú múltiple : Es multipliquen els números i es divideix el resultat entre el seu mínim comú múltiple (mcm).
Mcd 1

Cal recordar que el mínim comú múltiple (mcm) és la xifra més petita que satisfà la condició de ser múltiple de tots els elements d’un conjunt de números.

És a dir, tornant al mateix exemple, podem descompondre de la manera següent:

216=(3^3)*(2^3) i 156=13*3*(2^2) 204=3*(2^2)*17 168=3*(2^3)*7

El mínim comú múltiple seria: (3^3)*(2^3)*13*17*7= 334.152

Aleshores: MCD=216*156/2.808=12

Cal esmentar que aquest mètode funciona només per a dos números.

Administració per valors

  • Conjunts numèrics
  • Primera Guerra Mundial
  • Administració per processos