Màxim comú divisor i mínim comú múltiple

Màxim comú divisor i mínim comú múltiple

Màxim Comú Divisor I Mínim Comú Múltiple

El màxim comú divisor (MCD) i el mínim comú múltiple (mcm) són dos valors que es poden calcular a partir dels divisors de dos o més números.

Tot i que tots dos es calculen a partir de la mateixa informació, el MCD i el mcm s’interpreten de manera molt diferent.

D’una banda, el MCD és el nombre més gran pel qual es poden dividir dos o més números. Això, sense deixar cap residu.

En canvi, el mcm és la xifra més petita que satisfà la condició de ser múltiple de tots els elements d‟un conjunt de números.

Cal precisar que un nombre és múltiple d’un altre quan el conté n vegades de manera exacta. És a dir, un nombre b és múltiple de a quan b = a * s, sent s un nombre sencer.

Per entendre millor la diferència podem utilitzar un exemple amb els números següents: 450, 765 i 135.

Primer, desagreguem cada xifra en divisors. Aquests són aquells números en què està continguts en un altre de forma exacta una quantitat n de vegades.

450= (3^2)*(5^2)*2

765= (3^2)*5*17

135= (3^3)*5

Aleshores, per calcular el MCD prendrem els divisors comuns a la seva mínima potència:

MCD= (3^2)*5= 45

Així mateix, per al mcm prendrem tots els divisors, fins i tot els que no es repeteixen, elevant-los a la seva màxima potència:

mcm= (3^3)*(5^2)*2*17= 22.950

Relació entre MCD i mcm

Quan es tenen dos números, es compleix la fórmula següent:

Mcm

És a dir, per a 4.368 i 308

4.368= (2^4)*13*7*3

308= (2^2)*11*7

Aleshores, el mcm seria: (2^2)*7= 28

Per tant, el MCD es podria aclarir a la fórmula:

MCD= 4.368*308/28= 48.048

Algunes propietats

Algunes propietats a considerar també són:

  • Si tenim dos nombres primers (que només es poden dividir entre ells mateixos i un per obtenir un nombre enter) el mcm és el total de la seva multiplicació. Així mateix, el seu màxim comú divisor és 1. Per exemple, si en tenim 11 i 103, el seu mcm és 1133 i el seu MCD és 1.
  • El màxim comú divisor de dos o més números és un divisor del mínim comú múltiple d’aquests números. Això és perquè el càlcul es fa sobre la base dels mateixos factors. Per exemple, si en tenim 132, 336 i 1.314

132= (2^2)*3*11

336= (2^4)*3*7

1.314= (3^2)*73*2

Aleshores,

MCD= 3*2=6

mcm= (2^4)*(3^2)*7*11*73= 809.424

I comprovem que el mcm és múltiple del MCD: 809.424/6= 134.904

Màxim comú divisor (MCD)

  • Conjunts numèrics
  • Administració per valors
  • Primera Guerra Mundial