Una matriu simètrica és una matriu d’ordre n amb el mateix nombre de files i columnes on la matriu transposada és igual a la matriu original.
En altres paraules, una matriu simètrica és una matriu quadrada i és idèntica a la matriu de després d’haver canviat les files per columnes i les columnes per files.
Requisits
Perquè una matriu qualsevol sigui una matriu simètrica ha de complir les restriccions següents:
Donada una matriu simètrica P d’ordre n,
- Ser una matriu quadrada .
El nombre de files (n) ha de ser el mateix que el número de columnes (m). És a dir, l’ordre de la matriu ha de ser n atès que n=m.
- La matriu original ha de ser igual a la seva matriu trasposada .
Demostració:
Propietats
- La matriu adjunta duna matriu simètrica també és una matriu simètrica.
Demostració:
- La suma o resta de dues matrius simètriques resulta en una altra matriu simètrica.
Demostració:
Donades dues matrius simètriques P i T d’ordre 3, obtenim una altra matriu simètrica S a partir de la suma.
Per què es diu matriu simètrica?
La propietat de simetria ve donada pels elements que hi ha al voltant de la diagonal principal. Atès que una matriu quadrada és una matriu simètrica, sempre tindreu el mateix nombre d’elements per sobre i per sota de la diagonal principal. Aquests elements són iguals de forma simètrica. És a dir, la diagonal principal actua com un mirall.
Demostració de simetria i asimetria d’una matriu
Matriu simètrica
La lletra d representa els elements de la diagonal principal. Les altres lletres representen qualsevol número real. Podem veure que la diagonal principal actua com un mirall: reflecteix els elements dels dos costats. En altres paraules, quan els elements dels dos costats de la diagonal són iguals simètricament diem que la matriu P és una matriu simètrica.
Matriu no simètrica
La matriu X no és una matriu simètrica atès que no és una matriu quadrada i la seva matriu transposada és diferent de la matriu original. A més, tampoc no té diagonal principal.
Matriu no simètrica