Una matriu no simètrica és una matriu no quadrada on els elements de la matriu transposada es troben en diferent posició que els elements de la matriu original.
En altres paraules, la matriu no simètrica és una matriu on el nombre de files (n) és diferent que el nombre de columnes (m) i la transposta de la matriu és diferent de la matriu original.
És important no confondre les matrius no simètriques amb les matrius antisimètriques atès que són conceptes molt diferents i que fan referència a diferents elements dins de la matriu.
Perquè una matriu sigui simètrica ha de ser una matriu quadrada i que sigui igual a la seva matriu transposada. En altres paraules, que el nombre de files (n) sigui igual al nombre de columnes (m) i que els elements de la matriu no canviïn una vegada canviades les files per les columnes.
Matemàticament el concepte de simetria vol dir que aplicant l’operació de transposar, els elements de la matriu no canviaran.
La matriu simètrica i els miralls
Entendrem millor el concepte de matriu no simètrica si pensem en lefecte que produeix un mirall.
Si ens mirem al mirall veurem la nostra cara reflectida; si aixequem una mà també s’aixecarà una mà al mirall. De la mateixa manera que si fem qualsevol gest, sortirà el mateix gest reflectit.
Doncs bé, passa el mateix amb la diagonal principal d’una matriu simètrica. Els elements per sota o per sobre de la diagonal principal seran els mateixos. És a dir, la diagonal principal d’una matriu simètrica actua com a mirall dels elements que hi ha al seu voltant.
Donada una matriu simètrica S ,
La matriu S trasposta tindria la següent forma:
Per a més informació sobre les seves propietats matemàtiques consulteu l’article sobre matriu simètrica.
La matriu no simètrica i els miralls
En el cas de la matriu no simètrica, és com si el mirall estigués trencat.
I quan un mirall està trencat no reflecteix bé els elements que hi ha davant seu. Podem aixecar la mà dreta i veure que s’aixequen quatre mans o que no se n’aixeca cap.
Aleshores, aplicant la mateixa lògica, la matriu no simètrica es tracta de no tenir els mateixos elements per dalt o per sota de la diagonal principal ia més que no siguin iguals.
De manera que:
En aquesta matriu no podem trobar la diagonal principal i, per tant, no hi ha simetria al nombre d’elements. A més, si trasposem la matriu anterior veurem que no en conserva l’estat original.
La matriu NS transposada tindria la següent forma:
Resum
Quan ens trobem amb el concepte de matriu no simètrica només hem de pensar en la matriu simètrica i posar-hi una negació davant de les característiques. És a dir, una matriu no simètrica serà tal que compleixi:
- Matriu no quadrada.
- Matriu transposada no igual a la matriu original.
Pot ser que sembli senzill recordar què és una matriu no simètrica, però quan treballem amb matrius antisimètriques de vegades confonem els conceptes.
Matriu antisimètrica