Una matriu inversa és la transformació lineal d‟una matriu mitjançant la multiplicació de l‟invers del determinant de la matriu per la matriu adjunta transposada.
En altres paraules, una matriu inversa és la multiplicació de l’invers del determinant per la matriu adjunta transposada.
Articles recomanats: determinant d’una matriu, matriu quadrada, diagonal principal i operacions amb matrius.
Donada una matriu X qualsevol tal que
Fórmula matriu inversa d’una matriu d’ordre 2
Aleshores, la matriu inversa de X serà
Mitjançant aquesta fórmula obtenim la matriu inversa duna matriu quadrada dordre 2.
La fórmula anterior també es pot expressar mitjançant el determinant de la matriu.
Fórmula matriu inversa d’una matriu d’ordre 2
Les dues línies paral·leles al voltant de X al denominador indiquen que és el determinant de la matriu X.
Quan una matriu quadrada té matriu inversa diem que és una matriu regular.
Requisits
Per trobar la matriu inversa d’una matriu d’ordre n necessitem complir els requisits següents:
- La matriu ha de ser una matriu quadrada.
El nombre de files (n) ha de ser el mateix que el número de columnes (m). És a dir, l’ordre de la matriu ha de ser n atès que n=m.
- El determinant ha de ser diferent de zero (0).
El determinant de la matriu ha de ser diferent de zero (0) atès que participa en la fórmula com a denominador. Si el denominador fos un zero (0), tindríem una indeterminació.
Si el denominador (ad – bc) = 0, és a dir, el determinant de la matriu X és igual a zero (0), aleshores la matriu X no té matriu inversa.
Propietat
Una matriu quadrada X d’ordre n tindrà una matriu inversa X d’ordre n, X -1 , tal que compleix que
L’ordre dels elements de la multiplicació no és rellevant, és a dir, la multiplicació d’una matriu quadrada qualsevol per la matriu inversa sempre resultarà a la matriu identitat del mateix ordre.
En aquest cas, l’ordre de la matriu X és 2. Aleshores, podem reescriure la propietat anterior com:
Exemple pràctic
Troba la matriu inversa de la matriu V.
Per resoldre aquest exemple podem aplicar la fórmula o primer calcular el determinant i després substituir-lo.
Fórmula
Fórmula amb determinant
Primer calculem el determinant de la matriu V i després el substituïm a la fórmula.
Aleshores, obtenim que el determinant de la matriu V és diferent de zero (0) i podem dir que la matriu V sí que té matriu inversa.
Obtenim el mateix resultat utilitzant la fórmula o primer calculant el determinant i després substituir-lo.
Lordre de la matriu inversa és el mateix que lordre de la matriu original. En aquest cas, tindrem el mateix nombre de files ni de columnes m tant a la matriu V i V -1 .
Divisió de matrius