Matriu identitat

Matriu identitat

Matriu Identitat

Una matriu identitat o unitat dordre n és una matriu quadrada on tots els seus elements són zeros (0) menys els elements de la diagonal principal que són uns (1).

En altres paraules, una matriu identitat només té uns (1) a la diagonal principal i tots els altres elements de la matriu amb zeros (0). A més, la matriu identitat es reconeix per tenir forma a quadrat atès que és una matriu quadrada.

Representació d´una matriu identitat

Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.50.35
Exemples de matrius identitat

Podem crear infinites combinacions de matrius unitat sempre que respectem la condició de ser una matriu quadrada: tenir el mateix nombre de files (n) i de columnes (m).

Propietats

Quan fem operacions amb la matriu unitat no ens hem de posar nerviosos. Hem de pensar en la matriu identitat com si fos el número u (1).

Número 1

  • Quan multipliquem per un (1) qualsevol altre número ens queda el mateix número ( neutralitat ). Donada una constant d’escalar qualsevol:
Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.53.12
Efecte neutre de la multiplicació d’una constant amb el número u (1).
  • Si fem l’invers del número u (1), obtindrem el mateix número u (1) ( inversible ).
Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.54.00
Efecte neutre de fer l’invers del número u (1).
  • Quan elevem el número u (1) h unitats, sempre ens quedarà el número u (1) ( idempotència ).
Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.54.06
Efecte neutre d’elevar el número u (1) a una constant h.

Matriu identitat

  • Neutralitat . Quan la matriu unitat participa en una multiplicació de matrius, es diu producte neutre. Donada una matriu Z qualsevol:
Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.54.11
Efecte neutre de multiplicar la matriu identitat per una matriu qualsevol.
  • Inversible . La matriu inversa de la matriu unitat és la matriu identitat:
Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.54.17
Efecte neutre d invertir la matriu identitat.
  • Idempotència . La matriu inversa elevada h unitats (nombre natural) segueix sent la matriu unitat:
Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.54.22
Efecte neutre delevar h unitats la matriu identitat.

Procediment per identificar una matriu identitat

  1. La matriu ha de ser una matriu quadrada.
  2. La matriu ha de tenir uns (1) a la diagonal principal i zeros (0) a les altres posicions.

Aplicacions

La matriu identitat participa tantes vegades com el número u (1) participa en àlgebra. Per exemple, quan multipliquem una matriu qualsevol amb la matriu inversa, obtindrem la matriu unitat.

Exemple teòric

Les matrius següents són matrius identitat?

Captura De Pantalla 2019 07 25 A Les 11.54.31
Exemples de matrius identitat i matrius no identitat.

Matriu IA:

  • Matriu quadrada.
  • No matriu identitat: a la diagonal principal hi ha un nombre diferent d’un (1) ia les altres posicions hi ha un nombre diferent de zero (0).

Matriu IB:

  • No matriu quadrada.
  • No matriu identitat.

Matriu IC:

  • No matriu quadrada.
  • No matriu identitat.

Matriu ID:

  • Matriu quadrada.
  • Matriu identitat: a la diagonal principal n’hi ha uns (1) ia les altres posicions hi ha zeros (0).

Matriu IE:

  • Matriu quadrada.
  • No matriu identitat: encara que a les altres posicions hi ha zeros (0), a la diagonal principal hi ha un nombre diferent d’un (1).

Divisió de matrius

  • Matriu quadrada
  • Diagonal principal
  • Descomposició de Cholesky