Una matriu antisimètrica és una matriu quadrada on els elements fora de la diagonal principal són simètricament iguals però els que estan per sota de la diagonal principal porten un signe negatiu.
En altres paraules, una matriu antisimètrica és una matriu que té el mateix nombre de files (n) i de columnes (m) i els elements a banda i banda de la diagonal principal són complementaris.
Atès que els elements per sobre i per sota de la diagonal principal es compensen, els elements de la diagonal principal són zeros.
Article recomanat: matriu no simètrica i matriu simètrica.
Característiques de la matriu antisimètrica
Les característiques d’una matriu antisimètrica són:
- Matriu quadrada.
- Matriu simètrica + signe negatiu (-) als elements per sota de la diagonal principal.
- Elements de la diagonal principal són zeros (0).
Matriu antisimètrica
Donada una matriu quadrada AS ,
Podem veure com a banda i banda de la diagonal principal apareixen els mateixos elements però amb la particularitat que els elements per sota de la diagonal principal tenen un signe negatiu davant. A més, la diagonal principal està composta per zeros.
La matriu antisimètrica i els miralls
De la mateixa manera que la matriu simètrica, la matriu antisimètrica també es pot entendre a través de l’exemple del mirall.
Si ens mirem al mirall i aixequem el braç dret, veurem que la persona del mirall aixeca el seu braç esquerre. En altres paraules, el moviment del mirall es complementa amb el nostre i, per tant, la suma de tots dos resultaria a zero.
Podem expressar la idea anterior de la següent manera i deduir:
(Alçar la mà dreta ) – (Alçar la mà esquerra ) = 0
(Alçar la mà dreta ) = (Alçar la mà esquerra )
La diagonal principal actua com a mirall i veiem elements contraris a banda i banda de la diagonal principal. La funció neutral (=) s’assigna a la diagonal principal.
Propietat
- La matriu transposada duna matriu antisimètrica és igual a la matriu antisimètrica multiplicada per (-1).
En altres paraules, seria com afegir un signe negatiu davant de la matriu antisimètrica.
Matemàticament,
Podem veure que amb tots dos procediments arribem al mateix resultat: fent la matriu transposada o multiplicant per (-1) a la matriu antisimètrica.
Matriu no simètrica vs Matriu antisimètrica vs Matriu simètrica
L’exemple del mirall en el cas de la matriu simètrica és suficient amb què reflecteixi el mateix moviment, és a dir, si aixequem un braç que es vegi un braç aixecat però no cal especificar quin és. En el cas de la matriu antisimètrica, necessitem comprovar quin braç veiem al mirall i determinar si és una matriu antisimètrica.
Si aixequem un braç i al mirall veiem que …
- S’aixeca el mateix braç, des del punt de vista de la persona del mirall, aleshores, és una matriu simètrica.
- S’aixeca el braç contrari, des del punt de vista de la persona del mirall, aleshores és una matriu antisimètrica.
- Si no s’aixeca cap braç o se n’aixequen més d’un, des del punt de vista de la persona del mirall, aleshores és una matriu no simètrica.
Divisió de matrius