Una matriu adjunta és una transformació lineal de la matriu original a través del determinant dels menors i el seu signe i sutilitza principalment per obtenir la matriu inversa.
En altres paraules, una matriu adjunta és el resultat de canviar el signe del determinant de cadascun dels menors de la matriu original en funció de la posició del menor dins la matriu.
La matriu adjunta d’una matriu W es representa com a Adj(W).
L’ordre de la matriu original i la matriu adjunta coincideixen, és a dir, la matriu adjunta tindrà el mateix nombre de columnes i files que la matriu original.
Articles recomanats: diagonal principal, operacions amb matrius, matriu quadrada.
Donada una matriu W qualsevol d’ordre n definim els elements de la fila ii els elements de la columna j de W com a w ij .
Fórmula matriu adjunta
La matriu adjunta de la matriu W s’obté a partir de:
A les matrius d’ordre 2, W ij és l’element w que correspon a la fila iya la columna j. Aleshores, det (W ij ) és l’element w de la fila ii la columna j.
A les matrius d’ordre major o igual a 3, W ij és el menor que s’obté d’eliminar la fila ii la columna j de la matriu W . Aleshores, det (W ij ) és el determinant del menor W ij .
És important tenir en compte el canvi de signe que hem d’aplicar quan la suma de les files i de les columnes amb què estem treballant sumen un nombre imparell. En cas que sumin un nombre parell, el signe negatiu produirà un efecte neutre sobre el menor.
Aplicacions
La matriu adjunta s’aplica per obtenir la matriu inversa d’una matriu amb determinant de zero diferent (0). Aleshores, per obtenir la matriu inversa haurem d’exigir que la matriu sigui quadrada i invertible, és a dir, que sigui una matriu regular. En canvi, per calcular la matriu adjunta només hem de trobar els menors de la matriu.
Exemple teòric
Matriu d’ordre 2
- Substituïm els elements de la matriu a la fórmula anterior.
Matriu d’ordre 3
- Substituïm els elements de la matriu a la fórmula anterior.
- Calculem el determinant de cada menor.
Divisió de matrius