La diferència entre còncau i convex pot explicar-se de la manera següent → El terme convex es refereix al fet que una superfície té una curvatura cap a dins, mentre que si fos còncau la curvatura seria cap a fora.
Així, ho podem descriure d’una altra manera. La part central duna superfície còncava està més enfonsada o deprimida. En canvi, si fos convexa, aquesta part central mostraria una prominència.
Per entendre-ho millor podem citar-ne alguns exemples. Primer, el clàssic cas d’una esfera, la superfície de la qual és convexa. Tanmateix, si la talléssim en dos i ens quedéssim amb la meitat inferior, tindríem un objecte còncau, amb un enfonsament (suposant que l’interior de l’esfera és buit).
Un altre exemple de convex seria una muntanya, ja que és una prominència respecte a la superfície terrestre. Per contra, un pou és còncau, ja que entrar-hi implica enfonsar-se, per sota del nivell de la superfície terrestre.
Cal destacar, a més, que per definir un objecte com a còncau o convex també cal tenir en compte la perspectiva. Així, un plat de sopa, per exemple, quan està disposat per servir, és còncau, té un enfonsament. No obstant, si ho voltegem, el plat serà convex.
D’altra banda, en el cas de les paràboles, aquestes són convexes si tenen forma d’U, però còncaves si presenten una forma d’U invertida.
Funcions còncaves i convexes
Si la segona derivada duna funció és menor que zero en un punt, llavors la funció és còncava en aquest punt. En canvi, si és més gran a zero, és convexa en aquest punt. Això es pot expressar de la manera següent:
Si f»(x)<0, f(x), aquesta és còncava.
Si f»(x)>0, f(x) aquesta és convexa.
Per exemple, a l’equació f(x)=x 2 +5x-6, podem calcular-ne la primera derivada:
f'(x)=2x+5
Després, trobem la segona derivada:
f»(x)=2
Per tant, com que f»(x) és major a 0, la funció és convexa per a tot valor de x, com veiem al gràfic inferior:
Ara, vegem el cas aquesta altra funció: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f'(x)=-8x+7
f»(x)=-8
Per tant, com que la segona derivada és menor a 0, la funció és còncava per a tot valor de x.
Però ara observem la següent equació: -5 x 3 + 7x 2 + 5 x-4
f'(x)=-15x 2 +14x+5
f»(x)=-30x+14
Igualem la segona derivada a zero:
-30x+14=0
x=0,4667
Aleshores, quan x és major a 0,4667, f»(x) és major a zero, per la qual cosa la funció és convexa. Mentre que si x és menor a 0,4667, la funció és còncava, com veiem al gràfic inferior:
Polígon convex i còncau
Un polígon convex és aquell on es poden unir dos dels seus punts, traçant una línia recta que es manté dins la figura. Així mateix, els angles interiors són tots menors a 180º.
En canvi, un polígon còncau és aquell on, per unir dos dels seus punts, cal traçar una línia recta que està fora de la figura, i és una diagonal exterior que uneix dos vèrtexs. A més, almenys un dels seus angles interiors és més gran a 180º.
Podem observar una comparació a la imatge que s’ofereix a continuació:
