Diagonal principal

La diagonal principal d’una matriu quadrada és una línia recta imaginària amb pendent negatiu que comença per l’extrem superior esquerre i acaba a l’extrem inferior dret de la matriu.

Diagonal principal

En altres paraules, la diagonal principal és una línia recta amb pendent que podem traçar damunt de la matriu des del primer element fins al darrer.

Atès que la diagonal principal no ve donada per la matriu diem que és imaginària. Aleshores, per obtenir la línia diagonal haurem de dibuixar-la físicament o mentalment sobre la matriu.

Articles recomanats: matriu quadrada.

Representació de la diagonal principal

Donada una matriu quadrada Z qualsevol:

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.22.03
Matriu quadrada.

La diagonal principal de la matriu Z és:

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.22.22
Matriu quadrada amb la diagonal principal marcada en verd.

Dibuixar la diagonal principal

Un requisit per trobar tant la diagonal principal com la diagonal secundària és que la matriu ha de ser una matriu quadrada.

Com ens podem acordar que la diagonal principal comença a la cantonada superior esquerra i no a la cantonada inferior dreta (diagonal secundària)?

Doncs, per exemple, podem cercar referències a la geometria.

Si mirem la matriu Z , podem veure com es forma un triangle rectangle on la seva hipotenusa (diagonal) és la diagonal principal de la matriu. Gràficament:

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.20.15
Triangle rectangle on la seva hipotenusa és la diagonal principal duna matriu quadrada.

Des de la part analítica, també podem recordar que la diagonal principal és una línia recta que té pendent negatiu. Aleshores, per tenir pendent negatiu, la diagonal ha de començar a l’extrem superior esquerre i acabar a la part inferior dreta. Gràficament:

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.00.24
Inici i final de la diagonal principal duna matriu quadrada.

Un cop traçada la diagonal principal veurem que ens queden dos triangles simètrics per sobre i per sota de la diagonal. Aquest resultat és senyal que ho hem fet bé. Gràficament:

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.18.05
Triangles simètrics que es formen quan es traça la diagonal principal en una matriu quadrada.

Aplicacions

La diagonal principal s’empra en l’obtenció del determinant de la matriu, la descomposició LU, la descomposició de Cholesky, a la regla de Sarrus i en altres mètodes.

Exemple teòric

Troba la diagonal principal de les matrius següents:

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.18.58
Matrius.

Solució gràfica:

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.19.11
La diagonal principal està marcada en verd.

Solució analítica:

  • Diagonal principal matriu A : {2;28;1}.
  • Diagonal principal matriu B : {9;5}.
  • Diagonal principal matriu C : no és una matriu quadrada i per tant no podem trobar la diagonal principal.