Determinant d’una matriu

El determinant duna matriu de dimensió mxn és el resultat de restar la multiplicació dels elements de la diagonal principal amb la multiplicació dels elements de la diagonal secundària.

Determinant d'una matriu

En altres paraules, el determinant d‟una matriu 2×2 s‟obté dibuixant una X sobre els seus elements. Primer dibuixem la diagonal que comença per dalt a banda esquerra de la X (diagonal principal). Després dibuixem la diagonal que comença per dalt al costat dret de la X (diagonal secundària).

Per calcular el determinant d‟una matriu, necessitem que la seva dimensió tingui el mateix nombre de files (m) i de columnes (n). Per tant, m=n . La dimensió duna matriu es representa com la multiplicació de la dimensió de la fila amb la dimensió de la columna.

Hi ha altres maneres més complexes per calcular el determinant d’una matriu de dimensió més gran de 2×2. Aquestes formes es coneixen com la regla de Laplace i la regla de Sarrus.

El determinant es pot indicar de dues maneres:

  • Det( Z )
  • | Z mxn |

Anomenem (m) per a la dimensió de les files i (n) per a la dimensió de les columnes. Aleshores, una matriu m x n tindrà m files i n columnes:

  • i representa cadascuna de les files d’una matriu Z mxn .
  • j representa cadascuna de les columnes d’una matriu Z mxn .

Articles recomanats: tipologies de matrius, matriu invertida.

Propietats dels determinants

  1. | Z mxn | és igual al determinant d’una matriu Z mxn transposada:
Determinant D'Una Matriu Propietat 1
  • El determinant invers d‟una matriu Z mxn invertible és igual al determinant d‟una matriu Z mxn inversa:
Determinant D'Una Matriu Propietat 2
  • El determinant duna matriu singular S mxn (no invertible) és 0.

S mxn =0

  • | Z mxn |, on m=n, multiplicat per una constant h qualsevol és:
Determinant D'Una Matriu Propietat 4
  • El determinant del producte de dues matrius Z mxn i X mxn , on m=n, és igual al producte de determinants de Z mxn i X mxn
Determinant D'Una Matriu Propietat 5

Exemple pràctic

Matriu de dimensió 2×2

Una matriu de dimensió 2×2 té com a determinant la resta del producte dels elements de la diagonal principal amb el producte dels elements de la diagonal secundària.

Definim Z 2×2 com:

Exemple Determinant D'Una Matriu 1

El càlcul del seu determinant seria:

Exemple De Determinant 2

Exemple del càlcul de determinant

Exemple Pràctic Determinant 3

El determinant de la matriu X 2×2 és 14.

Exemple Pràctic Determinant 4

El determinant de la matriu G 2×2 és 0.