Descomposició de Cholesky

La descomposició de Cholesky és una classe especial de descomposició matricial LU, de l’anglès Lower-Upper, que consisteix a factoritzar una matriu en el producte de dues o més matrius.

Descomposició de Cholesky

En altres paraules, la descomposició de Cholesky consisteix a igualar una matriu que conté el mateix nombre de files i columnes (matriu quadrada) a una matriu amb zeros per sobre de la diagonal principal multiplicada per la seva matriu trasposada amb zeros per sota de la diagonal principal .

La descomposició de LU, al contrari que Cholesky, es pot aplicar a diversos tipus de matrius quadrades.

Característiques de la descomposició de Cholesky

La descomposició de Cholesky consisteix a:

  • Una matriu quadrada triangular superior: Matriu quadrada que només té zeros sota la diagonal principal.
  • Una matriu quadrada triangular inferior: Matriu que només té zeros per sobre de la diagonal principal.

Matemàticament, si hi ha una matriu simètrica definida positiva, E , llavors hi ha una matriu simètrica triangular inferior, K, de la mateixa dimensió que E , resultant en:

Matriu E

La matriu anterior figura com la matriu de Cholesky d’E. Aquesta matriu actua com l’arrel quadrada de la matriu E. Sabem que el domini de l’arrel quadrada és:

{ X ∈ ℜ : x ≥ 0}

La qual està definida en tots els números reals no negatius. De la mateixa manera que l’arrel quadrada, la matriu de Cholesky només existirà si la matriu està definida semipositiva. Una matriu està definida semipositiva quan els principals menors tenen un determinant positiu o zero.

La descomposició de Cholesky d’ E és una matriu diagonal tal que:

Descomposició De Cholesky

Podem veure que les matrius són quadrades i contenen les característiques esmentades; triangle de zeros per sobre de la diagonal principal a la primera matriu i triangle de zeros per sota de la diagonal principal a la matriu transformada.

Aplicacions de la descomposició de Cholesky

En finances es fa servir per transformar les realitzacions de variables normals independents en variables normals correlacionades segons una matriu de correlacions E .

Si N és un vector de normals (0,1) independents, es compleix que Ñ és un vector de Normals (0,1) correlacionades segons E .

Esquema Cholesky

Exemple de la descomposició de Cholesky

Aquest és l’exemple més senzill que podem trobar de descomposició de Cholesky ja que les matrius han de ser quadrades; en aquest cas, la matriu és (2×2). Dues files per dues columnes. A més, compleix les característiques de tenir zeros per sobre i per sota de la diagonal principal. Aquesta matriu està definida semipositiva perquè els principals menors tenen un determinant positiu. Definim:

Cholesky Matrius

Resolent per a: c 2 = 4; b·c=-2; a 2 + b 2 = 5; tenim quatre possibles matrius de Cholesky:

Cholesky Matrius 3

Finalment calculem per trobar (a,b,c). Un cop els trobem, tindrem les matrius de Cholesky. El càlcul és el següent:

Càlcul Matrius Cholesky