Convexitat d’un bo

La convexitat dun bo és el pendent de la corba que relaciona preu i rendibilitat. Mesura el canvi en la durada del bo com a resultat d’un canvi en la rendibilitat.

Convexitat d'un bo

Matemàticament s’expressa com la segona derivada de la corba preu-rendibilitat. La fórmula queda com segueix:

La variació del preu d’un bo davant de canvis en els tipus d’interès és la suma de la variació motivada per la durada modificada i la variació motivada per la convexitat del bo.

Si la convexitat dun bo és igual a 100, el preu del bo variarà un 1% extra cada 1% de variació dels tipus dinterès, a més de la calculada per la durada. Si la convexitat dun bo és igual a zero, el preu del bo variarà davant de canvis en els tipus dinterès la quantitat motivada per la durada del bo.

Relació convexitat d’un val i durada d’un val

La convexitat d’un bo ens ofereix una mesura molt més exacta dels canvis preu-rendibilitat d’un bo. La durada dun bo assumeix que la relació entre preu i rendibilitat és constant. Tot i això, la realitat és ben diferent. Per això, davant de variacions petites preu-rendibilitat la durada sigui una mesura acceptable. Però per a variacions més grans esdevingui imprescindible el càlcul de la convexitat.

Matemàticament pot semblar un terme una mica abstracte. Atès que gràficament és molt més fàcil d’entendre, ho veurem representat. Als següents dos gràfics veiem representats tant la durada com la convexitat.

A menor rendibilitat del bo, més gran serà el preu. I al revés, com més rendibilitat del bo menor serà el preu. És clar que, el preu no canvia en la mateixa proporció si la rendibilitat canvia del 10 al 12% que si canvia de l’1 al 2%. Això és el que té en compte la convexitat. La durada assumeix que el canvi en el preu és sempre el mateix. Mentre la convexitat té en compte que el canvi en el preu no és constant. La diferència entre la línia blava i la taronja és la convexitat pròpiament dita. La línia taronja és el canvi en el preu del bo tenint en compte la durada. Finalment, la línia blava representa els canvis en el preu del bo tenint en compte la durada i la convexitat.

Exemple de convexitat dun bo

Tenim un bo amb venciment a 10 anys. El cupó és del 7% i el bo té valor nominal de 100 euros. La TIR del mercat és del 5%. Això vol dir que bons de característiques similars estan oferint un 5% de rendibilitat. O el que és el mateix, un 2% menys. El pagament de cupons és anual.

Si la rendibilitat del bo passa del 7% al 5% quant varia el preu del bo? Per calcular la variació que tindria el preu davant d’un canvi en el tipus d’interès necessitarem les fórmules següents:

Càlcul del preu del bo:

Càlcul de la durada del bo:

Càlcul de la durada modificada:

Càlcul de la convexitat:

Càlcul de la variació de la durada:

Càlcul de la variació de la convexitat:

Càlcul de la variació del preu del bo:

Descarregar taula excel per veure tots els càlculs detallats

Utilitzant les fórmules a dalt esmentades obtenim les dades següents:

Preu del bo =115,44

Durada = 7,71

Durada Modificada = 7,34

Convexitat = 69,73

La variació del preu davant d’una caiguda de la rendibilitat del bo del 2% és del +14,68% tenint en compte la durada. La variació del preu del bo tenint en compte la convexitat és del +1,39%. Per obtenir la variació total del preu, hem de sumar les dues variacions. El càlcul fa que davant d’una caiguda del 2% en aquest bo augmentaria el preu en un 16,07%.