Zakon velikih brojeva

Zakon velikih brojeva je fundamentalna teorema teorije vjerovatnoće koja pokazuje da ako ponavljamo mnogo puta (težeći ka beskonačnosti) isti eksperiment, učestalost određenog događaja ima tendenciju da bude konstanta.

Zakon velikih brojeva

Odnosno, zakon velikih brojeva ukazuje na to da ako se isti test izvodi više puta (na primjer, bacanje novčića, bacanje ruleta, itd.), učestalost s kojom će se određeni događaj ponavljati (koja se pojavljuje ili pečat, broj 3 izlazi crn, itd.) će se približiti konstanti. To će zauzvrat biti vjerovatnoća da se ovaj događaj dogodi.

Poreklo zakona velikih brojeva

Zakon velikih brojeva prvi je spomenuo matematičar Gerolamo Cardamo, iako bez ikakvih rigoroznih dokaza. Kasnije je Jacob Bernoulli uspeo da izvede potpunu demonstraciju u svom delu "Ars Conjectandi" 1713. godine. 1830-ih matematičar Siméon Denis Poisson je detaljno opisao zakon velikih brojeva, koji je usavršio teoriju. Drugi autori će takođe dati kasnije doprinose.

Primjer zakona velikih brojeva

Pretpostavimo sljedeći eksperiment: bacite običnu kockicu. Sada razmotrimo događaj da dobijemo broj 1. Kao što znamo, vjerovatnoća da će se pojaviti broj 1 je 1/6 (kocka ima 6 lica, jedno od njih je jedno).

Šta nam govori zakon velikih brojeva? To nam govori da kako povećavamo broj ponavljanja našeg eksperimenta (izvodimo više bacanja kockice), učestalost s kojom će se događaj ponavljati (dobijamo 1) će se približiti konstanti, koja će imati jednaku vrijednost na svoju vjerovatnoću (1/6 ili 16,66%).

Moguće, u prvih 10 ili 20 lansiranja, učestalost sa kojom dobijemo 1 neće biti 16%, već drugi postotak kao što je 5% ili 30%. Ali kako radimo sve više i više tonova (recimo 10.000), frekvencija na kojoj se pojavljuje 1 bit će vrlo blizu 16,66%.

U sljedećoj grafiki vidimo primjer pravog eksperimenta u kojem se kockica više puta baca. Ovdje možemo vidjeti kako se mijenja relativna frekvencija izvlačenja određenog broja.

Kao što pokazuje zakon velikih brojeva, u prvim lansiranjima frekvencija je nestabilna, ali kako povećavamo broj lansiranja frekvencija teži da se stabilizuje na određenom broju, što je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi (u ovom slučaju brojevi od 1 do 6 jer se radi o bacanju kocke).

Pogrešno tumačenje zakona velikih brojeva

Mnogi ljudi pogrešno tumače zakon velikih brojeva vjerujući da će jedan događaj težiti drugom. Tako, na primjer, vjeruju da, budući da bi vjerovatnoća da će se broj 1 baciti na bacanje kockice trebala biti blizu 1/6, kada se broj 1 ne pojavljuje na prva 2 ili 5 bacanja, vrlo je vjerovatno da će se pojaviti u sljedećem. Ovo nije tačno, jer zakon velikih brojeva važi samo za mnoga ponavljanja, tako da možemo provesti ceo dan bacajući kockicu i ne dostići frekvenciju 1/6.

Bacanje kockice je nezavisan događaj i stoga, kada se pojavi određeni broj, ovaj rezultat ne utiče na sljedeće bacanje. Tek nakon hiljada ponavljanja moći ćemo potvrditi da zakon velikih brojeva postoji i da će relativna učestalost dobivanja broja (u našem primjeru 1) biti 1/6.

Pogrešno tumačenje teorije može dovesti do toga da ljudi (posebno kockari) izgube novac i vrijeme.