Simetrična matrica

Simetrična matrica je matrica reda n s istim brojem redaka i stupaca gdje je njena transponirana matrica jednaka originalnoj matrici.

Drugim riječima, simetrična matrica je kvadratna matrica i identična je matrici nakon što je zamijenila redove za stupce i stupce za redove.

Zahtjevi

Da bi bilo koja matrica bila simetrična matrica, ona mora zadovoljiti sljedeća ograničenja:

S obzirom na simetričnu matricu P reda n,

• Budite kvadratna matrica .

Broj redova (n) mora biti isti kao i broj kolona (m). To jest, redoslijed matrice mora biti n s obzirom da je n = m.

• Originalna matrica mora biti jednaka njenoj transponovanoj matrici .

Demonstracija:

Svojstva

• Pridružena matrica simetrične matrice je također simetrična matrica.

Demonstracija:

• Sabiranje ili oduzimanje dvije simetrične matrice rezultira još jednom simetričnom matricom.

Demonstracija:

S obzirom na dvije simetrične matrice P i T reda 3, dobijamo drugu simetričnu matricu S iz zbira.

Zašto se zove simetrična matrica?

Svojstvo simetrije daju elementi oko glavne dijagonale. Budući da je kvadratna matrica simetrična matrica, uvijek će imati isti broj elemenata iznad i ispod glavne dijagonale. Ovi elementi su simetrično isti. Odnosno, glavna dijagonala djeluje kao ogledalo.

Dokaz simetrije i iskrivljenosti matrice

Simetrična matrica

Slovo d predstavlja elemente glavne dijagonale. Ostala slova predstavljaju bilo koji realni broj. Vidimo da glavna dijagonala djeluje kao ogledalo: odražava elemente s obje strane. Drugim riječima, kada su elementi na obje strane dijagonale simetrično jednaki, kažemo da je matrica P simetrična matrica.

Nesimetrična matrica

Matrica X nije simetrična matrica jer nije kvadratna matrica i njena transponovana matrica se razlikuje od originalne matrice. Osim toga, nema ni glavnu dijagonalu.