Inverzna matrica je linearna transformacija matrice množenjem inverzne determinante matrice transponiranom adjunktnom matricom.
Drugim riječima, inverzna matrica je množenje inverzne determinante transponiranom adjunktiranom matricom.
Preporučeni članci: determinanta matrice, kvadratna matrica, glavna dijagonala i operacije s matricama.
Dato je bilo koju matricu X takvu da
Formula inverzne matrice matrice reda 2
Tada će inverzna matrica od X biti
Koristeći ovu formulu dobijamo inverznu matricu kvadratne matrice reda 2.
Gornja formula se također može izraziti determinantom matrice.
Formula inverzne matrice matrice reda 2
Dvije paralelne linije oko X u nazivniku ukazuju da je to determinanta matrice X.
Kada kvadratna matrica ima inverznu matricu, kažemo da je regularna matrica.
Zahtjevi
Da bismo pronašli inverznu matricu matrice reda n moramo ispuniti sljedeće zahtjeve:
- Matrica mora biti kvadratna matrica.
Broj redova (n) mora biti isti kao i broj kolona (m). To jest, redoslijed matrice mora biti n s obzirom da je n = m.
- Determinanta mora biti različita od nule (0).
Determinanta matrice mora biti različita od nule (0) jer učestvuje u formuli kao imenilac. Da je imenilac nula (0) imali bismo neodređenost.
Ako je nazivnik (ad – bc) = 0, odnosno determinanta matrice X jednaka nuli (0), tada matrica X nema inverznu matricu.
Nekretnina
Kvadratna matrica X reda n imat će inverznu matricu X reda n, X -1 , tako da zadovoljava da
Redoslijed elemenata množenja nije relevantan, odnosno množenje bilo koje kvadratne matrice njenom inverznom matricom uvijek će rezultirati matricom identiteta istog reda.
U ovom slučaju, red matrice X je 2. Dakle, možemo prepisati prethodno svojstvo kao:
Praktični primjer
Pronađite inverznu matricu matrice V.
Za rješavanje ovog primjera možemo primijeniti formulu ili prvo izračunati determinantu, a zatim je zamijeniti.
Formula
Formula sa determinantom
Prvo izračunamo determinantu matrice V, a zatim je zamenimo u formulu.
Tada dobijamo da je determinanta matrice V različita od nule (0) i možemo reći da matrica V ima inverznu matricu.
Dobijamo isti rezultat koristeći formulu ili prvo izračunajući determinantu, a zatim je zamijenimo.
Redoslijed inverzne matrice je isti kao i redoslijed originalne matrice. U ovom slučaju imaćemo isti broj redova n i kolona m i u matrici V i V -1 .
Matrična podjela